山田裕史研究室（大学院先端科学研究部）

Lab’s data【山田研究室データ】

• 研究テーマ
  表現論

• メンバー
  理学部理学科数学コース4年3人
  大学院自然科学研究科博士前期課程1年1人

寝食を忘れて数学に没頭する。
そんな経験を自信とプライドに

群 （ぐん） の元 （げん） を行列として表す表現論

山田裕史教授の研究テーマは表現論です。「数学には、大きく分けると、代数学、幾何学、解析学という３つの分野があります。代数学は、足す、引く、掛ける、割るという四則演算を抽象化して、『群』や『環 （かん） 』というような集合を考えます。たとえば、リンゴ、ミカン、バナナが並んでいて、それを置き換えるという操作を一つの集合の『元』（要素）とし、その置き換えという操作が成す群を考えます。あるいは、数が並ぶ行列では、行列の掛け算で群を成します。置き換えの場合は、４つを置き換えても、置き換えの全体は24通り。２つなら２通りしかありません。一方で、上に２つの数字、下に２つの数字が正方形に並ぶ行列においては、数は無限にあるので、行列の全体は無限集合ということになります。ところが、行列の掛け算に着目すれば、２個や24個の元からなる群と行列の成す群の構造においては大差がありません。集合論としては有限個か無限個かは大きな違いですが、代数的に見れば構造は同じようなものであり、群という概念でまとめられます。その群の元、つまり一つひとつを置き換えるという操作を行列として表すことを表現と呼びます」。さらにいうと、群の元を、ある空間からそれ自身の写像として表す、または変換として表すことが表現論であると話してくれました。

知られている証明も、自分で見つけ出すことに喜びを感じて

表現論は、数学の分野というよりは方法論だと山田教授。「群というのは代数のオブジェクトであり、群を元の行列として表現することによって群そのものを研究するなら代数学だし、代数を使って図形を考えるのなら幾何学、関数を考えるなら解析学というわけです」。
「数学では、たとえば先ほど話した置き換えという素朴な操作が、微分方程式という結構高度なものに大きく関与していることが見えることがあるんです。自分の今までのキャリアの中でも２、３回しかない経験ですが、それこそが数学の醍醐味だと思います」。
数学の分野によっては相当の予備知識が必要なものもありますが、「私がやっている数学はそれほどの知識を必要とするわけではありません。むしろ、こんなことがあるんだという感動を得るには、何も知らないほうがいいかもしれません」。たとえ知られていることでも、自分で実験を通して証明を見つけ出すことに数学の喜びを感じてほしいと言います。ここで言う実験とは「思考実験」であり、コンピューターなら数秒かからずに結果が出ることも、あえてノートと鉛筆を用いて一日、一週間かけて手計算でやるような「実験」こそに、数学をやる楽しみがあると山田教授。「社会にでて直接役に立つことではないのですが、一生に一度でも、寝食を忘れて数学に取り組んだという自信やプライドを、大切にしてほしいと思います」。

Interview

密着！山田研究室

（熊大通信66号 (2017 Autumn)10月発行）

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